Integrallo

Сумма синусов
\sin x+\sin y = 2\sin \frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}

Разность синусов
\sin x-\sin y = 2\sin \frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}

Сумма косинусов
\cos x+\cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}

Разность косинусов
\cos x-\cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}

Сумма тангенсов
\tg x+\tg y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y}

Разность тангенсов
\tg x-\tg y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}

Сумма котангенсов
\ctg x+\ctg y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}

Разность котангенсов
\ctg x-\ctg y=-\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}

Сумма тангенса и котангенса
\tg x+\ctg y=\frac{\cos(x-y)}{\cos x\sin y}

Разность тангенса и котангенса
\tg x -\ctg y=-\frac{cos(x+y)}{\cos x\sin y}

Сумма тангенса и котангенса одного аргумента
\tg x+\ctg x=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}

Разность тангенса и котангенса одного аргумента
\tg x-\ctg x=-2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=2\ctg 2x

Введение вспомогательного аргумента
a\sin x +b\cos x = \sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi), \ \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \ \cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x + \sin x = \sqrt{2}\cos(45^\circ -x)=\sqrt{2}\sin(45^\circ +x) \cos x - \sin x = \sqrt{2}\sin(45^\circ -x)=\sqrt{2}\cos(45^\circ +x)