Логарифм

Определение. Логарифмом положительного числа b по основанию a\ (a>0, a\not=1 ) называется показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.

log_ab=c \Leftrightarrow a^c=b

Свойства логарифма

Основное логарифмическое тождество:
a^{log_ab}=b,
где a>0; a\not= 1; b>0.

log_aa=1 log_a1=0 log_aa^m=m

Логарифм произведения
log_c(ab)=log_ca+log_cb, \ a>0, b>0.

Логарифм частного
log_c(\frac{a}{b})=log_ca-log_cb, \ a>0, b>0

Логарифм степени
log_ca^n=nlog_ca, a>0, c>0, c\not=1.
log_{c^n}a=\frac{1}{n}log_ca, a>0, c>0, c\not=1.

Логарифм корня
log_c \sqrt[n]{a}=\frac{1}{n}log_ca

Переход к новому основанию
log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}, a>0, a\not=1, c>0, c\not=1, b>0

Формулы, следующие из свойств логарифмов
log_ab=\frac{1}{log_ba}
\frac{log_nb}{log_nc}=\frac{log_mb}{log_mc}=log_cb
log_nb\cdot log_mc=log_mb\cdot log_nc
a^{log_nb}=b^{log_na}

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10:
log_{10}b=lgb

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e.
log_eb=ln b.

Оставить комментарий