Тип задания: 11 (Текстовая задача).
Id-10. Задание № 11. Игорь и Паша могут покрасить забор за 30 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 36 часов, а Володя и Игорь — за 45 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Решение:
Основная формула, которая используется в этой задаче
где A — работа, N — производительность, t — время.
Пусть
N_1 — Производительность Игоря, N_2 — Производительность Паши, N_3 — Производительность Володи.По условию, Игорь и Паша могут покрасить забор за 30 часов, т.е.
\frac{1}{N_1+N_2}=30.
Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 36 часов, т.е.
\frac{1}{N_2+N_3}=36.
Володя и Игорь могут покрасить забор за 45 часов, т.е.
\frac{1}{N_3+N_1}=45.
Тогда
{N_1+N_2}=\frac{1}{30}. \ \ \ \ \ (1)
{N_2+N_3}=\frac{1}{36}. \ \ \ \ \ (2)
{N_3+N_1}=\frac{1}{45}. \ \ \ \ \ (3)
В задаче нужно найти
t=\frac{1}{N_1+N_2+N_3}.
Складывая уравнения (1), (2) и (3), получим
N_1+N_2+N_2+N_3+N_3+N_1=\frac{1}{30}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}. 2(N_1+N_2+N_3)=\frac{1}{30}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}. N_1+N_2+N_3=\frac{\frac{1}{30}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}}{2}. \frac{1}{N_1+N_2+N_3}=\frac{2}{\frac{1}{30}+\frac{1}{36}+\frac{1}{45}}= =\frac{2}{\frac{1}{3\cdot 10}+\frac{1}{3\cdot 12}+\frac{1}{3\cdot 15}}= =\frac{2}{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15})}= =\frac{2\cdot 3}{\frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{3\cdot 5}}= =\frac{2\cdot 3}{\frac{3\cdot 4+2\cdot 5+2\cdot 4}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}= =\frac{2\cdot 3}{\frac{30}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}=\frac{6 \cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{30}=24.Ответ: 24.
Источник: ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2/ под. ред. И.В. Ященко. — М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2017. -215 с. (Серия «ЕГЭ. 30 вариантов. Типовые тестовые задания»). Вариант 1. Задание 11.